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基本概念

全空间 $\mathbb{X}$

• $\mathbf{R}$ 环: 一种集类 ( 元素为子集 )

  指：$\forall E,F \in R, \text{s.t.} \begin{cases} E \cup F \in R \ E-F \in R \end{cases}$

• 集函数

  $\mu: R\ni E \to \mu(E) = |E|_\mu\in \mathbb{R}\cup {+\infty}$

• 测度

  若集函数$\mu$ 满足：

  1. 非负性： $\mu(E) \leq 0, \forall E \in R $

  2. 对空集为0：$\mu(\phi) =0$

  3. 可列可加性：$\forall {E_n}\subset R, E_i\cap E_j =\phi \ (i\ne j)$ , 如有 $\bigcup_{n=1}^{+\infty}\in R$ , 则有

     $|\bigcup_{n=1}^{+\infty}E_n|_\mu$ $= \sum_{n=1}^{+\infty}|E_n|_\mu $

     则称 $\mu$ 为测度

• $\sigma$-环

  $\mathbf{S}$ 为 $\sigma$-环， 若 $\begin{cases} \forall {E_n} \subset S,\ &\text{s.t.} \bigcup_{n=1}^{+\infty} E_n \in S \ \forall E,F \in S, \ &\text{s.t.} E-F \in S\end{cases}$

Remark

1. $\mathbb{X}$ : 抽象空间

   $\mathbb{R}^m$：m维 Eulid 空间

$\mathbb{R}^m \Leftarrow \text{距离外测度} \Leftarrow \text{外测度} \Rightarrow \mathbb{X}$

2. 可列可加性 $\Rightarrow$ 有限可加性 $\Rightarrow$ 单调性

   考虑：$\forall E,F \in R, \ E\cap F=\phi, \ \mu(E\cup F)=\mu(E) + \mu(F)$ ,只须将其他集合取空集

   考虑：$E \subset F, F=E\cup (F-E), \mu(F) = \mu(E) + \mu(F-E) \geq \mu(E)$